Degree Theory

释义 Definition

“Degree theory”通常指“度理论”：一类用“度（degree）”来刻画对象“可达性/复杂性/可解性”或“映射的整体性质”的理论框架。常见于两大语境：

1. 可计算性理论（递归论）中的度理论：如图灵度（Turing degrees），用来比较不同问题/集合的不可计算复杂性层级。
2. 拓扑与非线性分析中的度理论（拓扑度）：用“度”刻画连续映射在整体上的“绕行/覆盖”性质，常用于证明方程解的存在性（如不动点与非线性方程）。

发音 Pronunciation (IPA)

/dɪˈɡriː ˈθiːəri/

例句 Examples

Degree theory helps us compare the difficulty of decision problems.
度理论帮助我们比较不同判定问题的难度。

In computability, degree theory organizes sets by Turing reducibility, while in topology, degree theory can guarantee the existence of solutions to nonlinear equations under suitable conditions.
在可计算性中，度理论按图灵可归约性对集合进行分层；而在拓扑中，度理论在合适条件下可以保证非线性方程解的存在。

词源 Etymology

“degree”来自拉丁语 gradus（“步、等级”），引申为“层级/程度”；“theory”来自希腊语 theōria（“观察、思考”）。合在一起，“degree theory”字面即“用等级/度量来组织与解释对象的理论”。在数学语境中，“度”既可指复杂性等级（可计算性），也可指映射的拓扑不变量（拓扑度）。

相关词 Related Words

• Computability
• Recursion
• Turing
• Reducibility
• Complexity
• Topology
• Homotopy
• Invariant
• Fixed Point
• Nonlinear Analysis

文献与作品 Literary Works

• Alan M. Turing, “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”（1936）：相关概念为后来的图灵度与可归约性框架奠基。
• R. I. Soare, Recursively Enumerable Sets and Degrees（1987）：可计算性/递归论中度理论的经典专著。
• Piergiorgio Odifreddi, Classical Recursion Theory（1989–1999）：系统讨论递归论与度结构。
• E. H. Spanier, Algebraic Topology（1966）：包含与拓扑度相关的背景工具（如同伦与不变量思想）。
• L. Nirenberg 等相关文献传统（非线性分析与偏微分方程领域）：拓扑度思想常用于存在性证明与不动点方法。